| Definition 1 | Unter einer Quadratischen Kongruenz versteht man folgende Gleichung: bx2+cx+dº0 (mod m) |
| Beispiel 1 | 3x²+2x+4º0 (mod 5) hat eine Lösung bei xº2 (mod 5) , also auch für x=7, denn 3*7²+2*7+4=365º0 (mod 5). |
| Satz 1 | Das Lösen einer quadratische Kongruenz kann zurückgeführt werden auf das Lösen der folgenden einfachen quadratischen Kongruenz: x2ºa (mod p) mit p ist Primzahl und p teilt nicht a. |
| Beispiel 2 | x2º3 (mod 11) hat die 2 Lösungen xº±5 (mod 11) x2º2 (mod 11) hat keine Lösung |
| Definition 2 | Wenn die Gleichung x2ºa (mod p) mit p ist Primzahl und p teilt nicht a eine Lösung hat, so heißt a quadratischer Rest (quadratic residue) modulo p. Andernfalls ist a kein quadratischer Rest (quadratic nonresidue) modulo p. |
| Beispiel 3 | Nach Beispiel 2 ist 3 ein quadratischer Rest modulo 5 und 2 ist kein quadratischer Rest modulo 5. |
| Geschichte | Die Mathematiker interessierte nun, wann die Zahl a ein quadratischer Rest modulo p ist und wann nicht. Die Antwort darauf liefert das quadratische Reziprozitätsgesetz. Euler stellte 1744-1746 die Aussage dieses Gesetzes als erster auf. 1785 entdeckten Adrien-Marie Legendre und 1795 unabhängig voneinander und von Euler das Gesetz von Neuem, aber erst Gauß gelang es 1796 im Alter von 19 Jahren das Reziprozitätsgesetz zu beweisen. Gauß war so fasziniert von dem Gesetz, dass er es den goldenen Satz der Zahlentheorie nannte. |